2023年夏季数学研究信息

数学系以多种方式鼓励学生进行研究. 数学专业的学生必须完成一份 顶石项目 要么加入为期一年的团队诊所项目，要么与导师一起完成论文项目. 该太阳2注册平台还提供在HMC主办的夏季研究机会.

2024夏季研究

主办单位:HMC

• 马德大学本科生研究机会

托管在别处

• 加州大学洛杉矶分校应用与计算数学专业 (由伯诺夫教授共同创立!)
• 其他数学知识

研究兴趣

阿瑟·本杰明

Combinatorial proofs of Fibonacci identities and other interesting sequences; 数学 of games, gambling, 和谜题.

阿瑟·本杰明的网站

安德鲁Bernoff

物理和生物系统建模, 动力系统的应用, 流体力学, 自相似和尺度

主题一:离散和连续群体模型

概述:Swarming of organisms is a ubiquitous phenomena in the world around us; flocks of birds, 鱼群和蝗群就是我们考虑过的系统的例子. 有几个项目适合作为持续努力的一部分，以了解这些社会结构的日益详细的模型的动态. 下面列出了一些示例项目.

背景需要:一些PDE，熟悉数值方法和计算.

学习到的技巧:生物系统建模, 熟悉能量和变分方法, 分岔理论, 积分方程, 数值和渐近方法.

样本项目:异质蜂群的数学建模

大多数群体模型假设所有个体都是相同和可互换的，但实际上个体是异质的. 例如, 如果有人假设在一个流行的鱼群模型中，对较大个体的视觉吸引力更强, 较大的个体漂流到群的外围，较小的个体漂流到群的内部. 这种行为在自然界中是可以观察到的，生物学上可以解释为对青少年的保护. 这个项目将是生物建模的结合, 数值模拟, 以及异质蜂群模型的数学分析.

示例项目:离散和连续群体中的分岔问题

Discrete, 基于个体的群体模型通常表现出稳定的状态，而不规则的群体则表现出高度对称的状态，比如球体和旋转的磨坊. 人们可以通过推导基于代理的模型的连续(PDE)版本来研究这些问题，并寻找分岔和稳态的层次结构. 这个项目将涉及粒子系统的动力学理论和用于检查对称分岔的动力系统方法.

样本项目:二维最近邻相互作用的数学建模

生物聚集的最流行的连续模型有一个不希望的特征，即在平衡配置中观察到的最大密度与生物量成正比. Recently, 我们已经在一维上研究了一种策略，用于建模最近邻相互作用，从而导致具有最大密度的聚集. 在高维中, 这种策略更难实现，因为个体不是有序的，而且最近邻的概念定义不清. 在这个项目中，我们将使用Voronoi分解来识别最近邻，并在二维中推导适当的连续体模型.

主题二:扩散捕获的动力学蒙特卡罗方法

描述:试想一朵花的雌蕊正等着捕捉一粒花粉, 淋巴细胞等待抗原刺激而产生抗体的淋巴细胞, 或者是一只食蚁兽随机寻找蚁巢来掠夺. 这些问题中的每一个都可以被模拟成一个混合了反射和吸收边界条件的扩散过程. 人们可以描述这种媒介(花粉)的特性, antigen, 食蚁兽)寻找目标(雌蕊), 淋巴细胞, 蚁巢)作为粒子执行随机漫步时的时间分布的首次通过时间(FPT)问题. 数值模拟这些问题涉及解析求解各种域内的扩散方程，然后对与解相关的出口时间分布进行采样. 我们对这些问题的模拟和渐近性正在缓慢而稳定地为他们所模拟的生物捕获问题再现更现实的几何形状.

主题三:能量驱动模式的形成

描述:Many physical systems are driven by pairwise particle interactions; for example in thin liquid and solid layers, 分子对通过电磁相互作用. 在群体中，昆虫的聚集通常是通过成对的社会力量来模拟的. 随着系统参数的变化，这些系统可以表现出复杂的形态变化. 这方面的一个例子是Langmuir薄膜中随着畴大小的增加而出现的圆-狗骨-迷宫转变(见图)。. 在这个项目中，我们将通过能量方法和分岔理论来研究这些形态变化与成对势的形式之间的关系. 虽然在特定系统中已经观察到许多这种转换的例子, 表征这些一般电位的转变仍然是一个值得研究的丰富领域.

背景需要:一些PDE，熟悉数值方法和计算.

学习到的技巧:熟悉能量和变分方法, 分岔理论, 积分方程, 数值和渐近方法.

如果你有兴趣给我发电子邮件(ajb@hmc).edu).

安德鲁·伯诺夫的网站

阿方索卡斯特罗

用初等积分方法和泛函分析工具求解常微分方程和偏微分方程的可解性. 中间值定理及其对若干变量的推广, 收缩映射原理, 变分方法, 隐函数定理是这些研究中用到的技巧的例子. 去Mathscinet看看我研究的本质. 含C的论文.M. Tan, B. Preskill和E. Fischer是HMC毕业论文的成果.

阿方索·卡斯特罗的网站

丽塞特·德·皮里斯

数学生物学, 包括肿瘤建模, 免疫学建模, 凝血模型, 糖尿病治疗方法, 最优控制, 艾滋病毒/艾滋病的建模, epidemiology modeling; numerical linear algebra.

Preparation needed: Linear algebra; Differential equations; some coding (Matlab, e.g.).

可能的顶点项目

1. 1型糖尿病:用微分方程建模有效的治疗和预防策略. 有较强的计算能力，熟悉Matlab和数学建模.
2. 用微分方程建立癌症/免疫学/癌症治疗模型.
3. 细胞自动机的癌症/免疫学/癌症治疗建模.
4. 用微分方程模拟凝血机制和治疗.
5. 用微分方程建立流行病学模型.
6. 探索大数据集(基因表达), 流式细胞术数据)来识别/预测疾病的阶段进展.

Figure:在这个模拟中, 我们探讨了“肿瘤暴食”(肿瘤细胞相对于健康细胞消耗营养的速度)对肿瘤形态的影响. 我们看到肿瘤贪食的增加导致肿瘤变得不那么致密，更像乳头状. 乳头状肿瘤更危险.

如果你想讨论这些项目中的任何一个，请随时与我联系 depillis@g.ngskmc-eis.net. 请在你的邮件主题中注明“研究兴趣”，以确保我能看到你的邮件.

丽塞特·德·皮里斯的网站

维情顾

1. 微分几何，格拉斯曼流形，特征类及其在弦理论中的应用.
2. 大数据分析. 世界上到处都有大数据问题. 由于传统的统计方法已经不够，因此迫切需要应用机器学习和先进的数学技术来从大量复杂的数字数据中提取模式和见解，并实现数据到决策. 在这个师生研究或学生毕业论文项目中，我们将识别包括无人机(UAV)数据在内的时间序列数据的模式和异常, 股票数据, 视频数据. 我们还将尝试使用这些模式来预测时间序列在不久的将来的行为. 我们将进一步开发技术，根据从数据中学到的知识做出一些最优或半最优决策. 这个研究项目将介绍或加强我们的学生的大数据分析，他们将在未来的工作场所面临大数据问题.
3. 利用线性代数和几何技术构建新的算法，为机器学习和人工智能的发展提供数学基础.

2022年夏季研究项目:

1. 利用机器学习对抗冠状病毒: The proposed work will 1) accelerate information extraction from various COVID-19 related datasets by applying Machine Learning (ML) starting with Topic Modeling; 2) improve techniques and accuracy in pursuing knowledge around prevention, treatment and a vaccine via data fusion and model integrations by employing big 数据分析 and mathematical modeling; and 3) expedite the dissemination of the information and help people around the world to combat coronavirus spread by creating a human-machine interactive webpage, 推荐系统, 手机应用程序. 目标是提取信息, 集成模型, 并创建交互式网页, 通过使用机器学习和大数据分析，在为期10周的时间内推荐系统和手机应用程序.

申请:将你的非正式成绩单和简历发邮件至 gu@ngskmc-eis.net.

顾维青的网站

杰米黑线鳕

数学数据科学，数值线性代数，优化，应用凸几何

兴趣集中在概率的应用上, 组合, 以及数据科学和优化中的凸几何. 最近活跃的领域包括随机数值线性代数, 凸优化的组合方法, 张量分解用于主题建模, 以及网络共识问题.

2022年夏季研究项目:

1. 大规模线性方程组的迭代方法 线性方程组的大规模系统出现在数据科学的许多领域, 包括在机器学习和作为子程序的几种优化方法. 当系统非常大，不能完整地读入工作记忆时, 通常采用在每次迭代中使用一小部分数据的迭代方法. 这些方法可以提供较小的内存占用和良好的收敛保证. Kaczmarz方法, 这是这类方法的一个经典例子, 由指向单个方程(或子系统)解集的顺序正交投影组成. 在这个方法族中有许多变体, 通常使用随机化或贪婪策略来选择每次迭代中使用的行(子系统).There has been a lot of work on Kaczmarz-type methods; some proving convergence results for different variants, 一些例子说明了Kaczmarz方法在信号处理中具体问题的应用, 网络科学, 还有机器学习, 以及一些针对对抗性腐败体系的发展策略. 在这个项目中, 我们将从理论上和实验上探索来自这些不同领域的与kaczmarz相关的研究的潜在研究问题. 潜在的发展方向包括:
   • 开发和分析腐败或噪声系统的方法;
   • Analyzing methods in the case that the system has structure coming from a graph or network; or
   • 开发网络排序和共识的应用方法.
2. 网络上意见动态的数值线性代数分析. 希瑟Zinn-Brooks): 在线社交媒体网络已经成为极具影响力的太阳2平台和信息来源. 考虑到庞大的受众群体和在线分享内容的便利性, 在在线社交网络上传播的内容可能对公众舆论产生重要影响, policy, 和投票. 以便更好地了解在线内容的传播, 意见动态的数学建模正在成为一个日益流行的研究领域.
   这个项目关注的是网络上意见动态的一类特殊数学模型，称为有界置信度模型. 这些模型的一个基本问题是，网络上的意见集合是否会收敛到一个共识(或其他固定的轮廓)，以及这种收敛发生的速度有多快. 这些模型的动力学的许多数学分析利用著名的和经典的工具从线性代数和代数图论. Recently, however, 一个分析框架已经发展起来，将这些模型的动力学与数值线性代数中的迭代方法(Kaczmarz方法)联系起来, 雅可比方法, 高斯-赛德尔方法)，并允许通过现代数值代数技术对动力学进行更细粒度的分析.
   在这个项目中, 学生将把有界置信度模型(和变体)与经典的雅可比和高斯-塞德尔迭代方法(和变体)联系起来。, 并将确定这些模型动力学的新颖理论收敛分析的方向. 我们小组将从经验和理论两方面探讨这些模型, 利用数值模拟指导, develop, 为以后正式的数学研究研究假设.
3. 医学成像张量模型与方法大规模数据, 比如常见的医学成像应用, 通常是自然的多模态，用张量(矩阵的高阶泛化)很好地表示。. 众所周知，张量的数学比矩阵的数学要复杂得多, 在基于张量的数据分析技术的发展中，是什么造成了关键的差距, 特别是在主题建模和降维方面. 该项目将实现三个主要目标:
   1. 开发基于张量的主题模型，该模型尊重数据的自然多模态结构，并允许结合灵活的专家监督信息;
   2. To design efficient training methods for tensor-based topic models and produce publicly available open-source implementations; and
   3. 为了说明这些模型和方法的前景在一个重要的案例研究应用于超声心动图分析.

   在这个项目中, 学生将推广常见的监督矩阵分解模型到张量数据, 开发有效的优化方法来训练这些模型, 并为这些模型/方法生成开源Python(和/或Matlab)包. 该项目将以心脏视频成像方式超声心动图的应用为指导. 与加州大学洛杉矶分校海港医疗中心心脏病科的心脏病专家合作, 学生将评估他们的模型在识别超声心动图连贯部分的新分割应用. 我们的团队不仅将开发新颖的建模工具，可以利用数据专家的信息.g., 心脏病学家), 但我们将努力使这些工具及其结果对非模型专家可用并可解释.

Apply at: http://uro.ngskmc-eis.net

杰米·哈道克的网站

乔恩·雅各布森

欢迎学生发起的主题，通常是一些最令人愉快的论文项目! 下面列出了其他一些项目建议.

1. 数学学习中的隐性维度: 迈克尔·波兰尼的个人知识理论认为，所有的知识——不管一门学科的技术如何形式化——本质上都是个人的, 涉及到依赖于个人努力去关注细节和发展一个具体的主体一致性的过程，从这个过程中可以注意到从它的角度看到的事物的知识. 所涉及的过程和细节都不能完全指定，这种“隐性维度”是所有知识的核心. 在这个项目中，我们将通过波兰尼的理论来研究数学学习. 特别有趣的是与身份的关系, access, 成就, rigor, 以及对波兰尼理论的归属感.
2. 广义Julia集: 应用牛顿方法寻找复多项式的根导致在复平面上迭代有理函数和相关的Julia集理论(吸引力盆地的分形边界). 这个自然实验项目将研究牛顿方法的动力学，该方法与寻找从R^n到R^n的向量场的根有关, 这可以看作是复映射从R^2到R^2的特殊情况的推广. 这两种情况都可以通过连续牛顿法微分方程的离散化来实现. 因为我们已经离开了复杂动力学的领域, 许多问题仍然存在，包括什么是朱莉娅式集合的自然候选者, 它们的几何性质(e.g.(分形维数)，离散与连续问题的关系，等等. 这个项目除了学习复杂动力学理论外，还包括重要的计算探索.
3. 空间生态学计算模型: 这个项目需要大量的计算技能. Matlab)来研究生态学中积分差异模型的种群动态. 我们开发了一个模型，允许人们通过计算相关线性算子的谱半径来研究种群的持久性, 然而，这通常是困难的，我们已经建立了一些可能同样有用的替代指标. 研究者会研究这些模型, 学习相关的数学框架, 并发展数值方法，以更好地了解它们的行为，并根据模式中的时空变化预测其持久性. 特别重要/具有挑战性的是度量的有效计算和制作工具，这些工具允许感兴趣的建模者参与模型.

乔恩·雅各布森的网站

达冈卡普

代数几何与数学教育“，. 达冈卡普的研究重点是(a)数学学科研究, 特别是组合代数几何和受理论物理启发的几何, and(b)数学教育研究. 可能的论文研究领域包括

1. Gromov-Witten理论中的环面几何一种对数学领域的组合方法，它源于与理论物理的互动，
2. 热带几何，代数几何的一种美丽的组合方法，以及
3. 公平教学法将数学的学习、教学和分享再人性化、去殖民化和酷儿化.

Prof. 卡普也欢迎对相关科目感兴趣的学生, 并指导过交换代数等学科的论文, 几何表征理论, 以及个性化评估在数学教育中的实践.

达根·卡普的网站

Lindo Haydee

更多信息即将发布.

苏珊Martonosi

2022年夏季研究项目:

1. 社交媒体上假太阳2平台传播的网络分析 我们正在将之前开发的假太阳2平台在社交媒体上传播的概率模型嵌入到网络传播框架中. 我们试图了解导致不真实或高度偏见的太阳2平台通过网络“瀑布”的条件, 以及这些内容对人们信仰的影响. 这项工作将包括完成现有的代码库，以便通过网络运行模拟, 分析数据, 模拟政策干预的效果, 并得出结论.
2. 儿童疫苗的国际定价: 全球疫苗免疫联盟是一个全球疫苗联盟，代表全世界低收入国家促进儿科疫苗的采购. 为此，全球疫苗免疫联盟直接与疫苗制造商谈判价格和数量合同. 目前, 五价联合疫苗可提供, 在一届政府中, 接种五种抗原疫苗. 正在开发的是一种六价疫苗，它将在联合疫苗中添加第六种抗原. 这样做将大大减少与分发这些疫苗有关的业务成本，并可大大提高低收入国家的疫苗接种率. 该项目旨在完善我们以前开发的模型，以确定采购价格和数量，以激励制药公司开发六价疫苗. 这项工作将包括为模型开发一个代码库, 在一系列场景中运行计算分析, 分析数据, 模拟政策干预的效果, 并得出结论.

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论文选题可能性:

运筹学, 数据分析, 应用概率, 国土安全, 网络优化, 人道物流.

1. 儿童疫苗定价的博弈模型 像世界卫生组织和盖茨基金会这样的援助组织就分发给低收入国家的儿科疫苗的价格进行谈判. However, 同时他们会尽量把价格降到最低, 他们还希望确保疫苗制造商有足够的盈利能力，以便他们能够留在市场上, 防止任何一种疫苗垄断. 这个问题就变成了 game 组织和疫苗制造商之间的关系. 我们将使用博弈论的不同方法来找到可以为政策提供信息的平衡.
2. 假太阳2平台: 2016年美国大选后，“假太阳2平台”的盛行和传播引起了国际关注.S. 总统选举. 虚假和/或有偏见的太阳2平台文章传播的机制是一个活跃的研究领域, 尤其是Facebook等社交媒体越来越多地被要求在假太阳2平台检测和威慑方面发挥积极作用. 该研究项目将开发一个概率模型和优化框架，以确定恶意代理产生的文章的偏见和真实性的最佳分布，以最大限度地在已知信念分布的人群中传播. 这项工作将为有偏见和/或“假”太阳2平台的最佳特征提供见解, 然后可以在博弈论框架内使用它来制定防御策略.
3. 网络中断方法: 这个领域的研究可以涉及图论, 算法设计, 网络优化, 运筹学, etc.
4. 运用运筹学和数据分析技术解决你感兴趣的问题.

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迈克尔Orrison

有限群的调和分析, 代数投票理论, 有限群的表示理论及其应用.

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弗朗西斯·苏

几何和拓扑组合学, 特别是应用于数学经济学的问题, 公平的划分, voting. 这包括:凸多面体的三角形几何, 凸集的交问题, 组合拓扑中的Sperner引理和问题.

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Talithia威廉姆斯

统计疾病建模，环境统计，时空数据分析.

描述

流行率和发病率是衡量一种疾病影响的两个重要指标. 对许多疾病来说，发病率是制定应对计划的最有用的衡量标准. 我们开发了一个模型来估计进行性疾病的发病率, 并应用于非洲的白内障疾病. 初步结果表明，单侧和双侧发病的不同行为可能会使我们对白内障的正常病程有所了解. 例如，单侧白内障患者多久才会发展为双侧白内障? 这个时间取决于年龄吗, 地理区域, 性别或其他影响单侧发病的因素? 有几个自然的延伸到目前的工作，将使一个令人兴奋的论文项目.

可能的论文项目

1. 开发数据聚类方法.
2. 白内障年龄相关性死亡率模型.
3. 将目前的模型应用于其他进行性疾病，如癌症.
4. 发展一个纳入影响白内障因素的模型(1).e. 人口中的糖尿病)

塔利西亚·威廉姆斯的网站

Darryl勇

数学教育，应用数学，微扰理论，偏微分方程

Darryl勇的网站

希瑟Zinn-Brooks

2022年夏季研究项目:

1. 网络上意见动态的数学模型 在线社交媒体网络已经成为极具影响力的太阳2平台和信息来源. 考虑到庞大的受众群体和在线分享内容的便利性, 在在线社交网络上传播的内容可能对公众舆论产生重要影响, policy, 和投票. 以便更好地了解在线内容的传播, 意见动态的数学建模正在成为一个日益流行的研究领域.这些暑期项目的重点是网络上意见动态的一类特殊数学模型，称为有界置信度模型. 我的研究小组感兴趣的一个领域是描述有限置信度模型的动态特征，其结果主要由系统中的关键代理驱动(与其他代理相比，它们具有不同的属性)。. 这特别适合用机械模型来研究, 我们可以显式地控制输入, 应用动力系统和网络理论的技术, 仔细强调潜在的假设.可能的项目方向:
   1. 调优媒体影响: 通过蒙特卡罗模拟了一个基于智能体的有界置信度网络模型, 我们可以研究合成网络的去极化策略，并量化这些网络中发生极化和去极化的条件. 我们还可以探索从Twitter数据中得出的更现实的媒体强迫对媒体活动的影响.
   2. 信息级联的竞争、合作与影响力最大化; Messages in an online social network are not spreading in a vacuum; they are competing and interacting with other active messages on the network. 在什么条件下，我们期望信息“竞争”?? 什么时候一条信息会受到另一条信息的限制? 它们什么时候会独立传播? 对消息受多个合作或竞争扩散过程影响的上下文进行建模是在线内容传播模型的重要扩展. 另一个有趣的潜在方向是探索种子节点的选择如何影响最终传播树的属性.g.(消息传播的数量、宽度和直径).
   3. 信息级联的参数拟合与灵敏度分析 而我的小组成员一般从理论的角度来研究这些问题, 我们也被真实世界网络中信息传播的建模所激励. 在这个项目中, 学生将使用Twitter转发数据来拟合我们的信息级联模型的参数. 根据这些数据, 我们将提取有关结果传播树的信息，并使用参数拟合技术，并执行灵敏度分析，作为验证或无效现有模型的手段.
   4. 其他复杂系统数学建模项目: 我对数学建模和具有生物和社会应用的动力系统的其他项目持开放态度和兴奋态度. 活跃的研究方向包括数学中性别表征的数学建模, 两党制的两极分化, 生物系统中的模式形成和基于主体的模型, 以及更多(见网站). 如果您对其中一个项目感兴趣, 请随意“推销”你的项目理念.
2. 网络上意见动态的数值线性代数分析. 杰米黑线鳕): 在线社交媒体网络已经成为极具影响力的太阳2平台和信息来源. 考虑到庞大的受众群体和在线分享内容的便利性, 在在线社交网络上传播的内容可能对公众舆论产生重要影响, policy, 和投票. 以便更好地了解在线内容的传播, 意见动态的数学建模正在成为一个日益流行的研究领域.
   这个项目关注的是网络上意见动态的一类特殊数学模型，称为有界置信度模型. 这些模型的一个基本问题是，网络上的意见集合是否会收敛到一个共识(或其他固定的轮廓)，以及这种收敛发生的速度有多快. 这些模型的动力学的许多数学分析利用著名的和经典的工具从线性代数和代数图论. Recently, however, 一个分析框架已经发展起来，将这些模型的动力学与数值线性代数中的迭代方法(Kaczmarz方法)联系起来, 雅可比方法, 高斯-赛德尔方法)，并允许通过现代数值代数技术对动力学进行更细粒度的分析.
   在这个项目中, 学生将把有界置信度模型(和变体)与经典的雅可比和高斯-塞德尔迭代方法(和变体)联系起来。, 并将确定这些模型动力学的新颖理论收敛分析的方向. 我们小组将从经验和理论两方面探讨这些模型, 利用数值模拟指导, develop, 为以后正式的数学研究研究假设.

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希瑟·辛-布鲁克斯的网站